12.06.2026

26.03.2026 г.

Докладчик – Шахбазиасль Мохаммад.

Тема доклада «Численный анализ уравнения теплопроводности дробного по времени порядка с затухающей функцией памяти».

В докладе рассмотрен вычислительный анализ дробно-порядковой модели теплопроводности в сложных средах с затухающей памятью. Модель включает дробные производные Капуто по времени порядка α ϵ (0,1), учитывает эффекты памяти теплового потока, а также содержит однопараметрическое запаздывание. За счёт представления релаксационных функций теплового потока и теплоёмкости в виде конечных линейных комбинаций убывающих экспонент исходная модель сводится к эквивалентной системе уравнений, содержащей как дробные временные операторы, так и классические производные по времени. Тем самым исходное дробное уравнение теплопроводности расширяется двумя вспомогательными уравнениями. Для полученной системы устанавливается оценка устойчивости решения в конечномерном гильбертовом пространстве с учётом начальных условий и источниковых членов. Предложена разностная схема, основанная на формуле L1. Для неё проведен строгий анализ безусловной устойчивости и доказана сходимость по времени порядка min{2-α, 1+α}. Для достижения более высокой точности, не зависящей от значения дробного порядка, дополнительно разрабатывается схема на основе формулы L2, для которой доказан второй порядок сходимости по времени. Также рассмотрено обобщение предложенных методов на градуированные неравномерные сетки, что позволяет повысить точность вычислений в случаях, когда решение обладает ограниченной гладкостью в начальный момент времени. Проведены численные эксперименты, подтверждающие полученные теоретические результаты.

10.06.2026 г.

Докладчик – Алиханов Адам.

Тема доклада «Дискретное неравенство Гронуолла для разностных схем L2 и его применение нелинейным уравнениям конвекции-диффузии соболевского типа».

В докладе проведён комплексный численный анализ линеаризованной компактной разностной схемы построенной на базе L2-формулы, аппроксимирующей дробные производные Капуто. Пространственная дискретизация была построена на основе высокопорядкового компактного разностного оператора, что позволило повысить точность вычислений. Разработанный метод был применён к решению нелинейных уравнений конвекции–диффузии соболевского типа с несколькими дробными производными по времени и постоянным временным запаздыванием. Дробные производные по времени задавались в смысле Капуто с порядками βₖ, αₖ ∈ (0, 1). Был предложен новый подход к анализу разностных схем высокого порядка аппроксимации типа L2 для нелинейных дифференциальных уравнений с дробными производными по времени. Он состоял в преобразовании формулы L2 к эквивалентному виду, допускающему применение дискретного дробного неравенства Гронуолла, разработанного для формулы L1. Данная стратегия была использована для исследования устойчивости и сходимости задачи конвекции–диффузии. Полученные результаты показали, что L2-компактная схема обеспечивает точность по времени порядка 3 − max{βₖ, αₖ} и четвёртый порядок точности по пространству. Предложенный метод был применен так же для высокопорядковой линеаризованной L2-компактной разностной схемы для двумерных нелинейных уравнений конвекции–диффузии соболевского типа с несколькими дробными производными по времени и запаздыванием. Проведённые численные примеры подтвердили эффективность и применимость предложенных схем, а также соответствующие теоретические результаты.